LA HIPÉRBOLA

1. Definición

Se define como el lugar geométrico de todos los puntos P, del plano tales que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias entre P y dos puntos fijos F1 y F2, llamados focos de la hipérbola, es constante, es decir, |d(P,F1-d(P,F2)|= 2a constante.

2. Elementos de la Hipérbola

1. Eje Focal

Es la recta que contiene a los dos focos

2. Vértices

Son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal

3. Eje Transverso

Es el segmento que une los dos vértices

4. Centro

Es el punto medio del eje transverso

5. Eje normal

Es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la hipérbola

6. Eje conjugado

Es un segmento perpendicular al eje transverso que pasa por el centro de la hipérbola y cuyo punto medio coincide con dicho centro

7. Lado recto

Es el segmento perpendicular al eje focal que pasa por eñ foco y cuyos extremos pertenecen a la hipérbola

8. Asíntotas

Son dos rectas a las cuales se aproximan las ramas de la hipérbola pero nunca las toca.

3. Ecuación Canónica de la Hipérbola con centro en (0,0) y eje focal sobre el eje X

3.1. Demostración 

3.2. Ecuaciones de las Asíntotas

                        

                                        

3.3. Excentricidad

4. Ecuación Canónica de la Hipérbola con centro en (0,0) y eje focal sobre el eje y

           

4.1. Ejemplo

Analizar la hipérbola cuya ecuación es  x²/16 + y²/9 = 1

5. Hipérbola con centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje x

5.1. Ecuación 

Demostración

5.3. Focos

F (h + c, k)    y   F (h - c, k)

5.4. Vértices

V (h + a, k)   y  V (h - a, k)

Ejemplo:

Determinar los elementos de la hipérbola cuya ecuación es:   (x – 2)²  -  (y – 3)² = 1 

Solución:

- Se trata de una hipérbola con eje transverso horizontal paralelo al eje x, ya que la parte que está restando corresponde a la coordenada y.

-  Distancia del centro al vértice de la hipérbola

a = 1

- Centro 

 C (2, 3)

- Vértices

V (h + a, k)   y  V (h - a, k)

V (2 + 1, 3) =  V (3, 3)

V (2 – 1, 3) = V (1, 3)

- Distancia focal

c² = a² + b² 

- Focos

F (h + c, k)    y   F (h - c, k)

- Asíntotas

1.   y – 3 = 1 (x – 2)

      y = 3+ x – 2

      y = x + 1

2. y – 3 = - 1 (x – 2)

    y = 3 – x + 2

    y = - x + 5 

- Gráfica

6. Hipérbola con centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje y

6.1. Ecuación

6.2. Ecuaciones de las Asíntotas 

6.3. Focos

F (h, k+ c)  y  F (h, k - c)

6.4. Vértices

V (h, k + a)   y   V (h, k - a)

Ejemplo: 

Hallar todos los elementos de la siguiente hipérbola y graficarla:

(y - 7)² / 36 – (x – 5)² / 16 = 1

Gráfica

7. Ecuación General de la Hipérbola

La ecuación general de la hipérbola con eje focal paralelo a uno de los ejes de coordenadas es:

Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0, con A y C diferentes de cero y de signos opuestos

Ejemplo:

Encontrar el centro, los vértices, los focos, las asíntotas y graficar la hipérbola dada por la siguiente expresión:

4x² – 25y² – 8x – 100y – 196 = 0

Solución:

Se trata de una hipérbola horizontal porque el término positivo es y, y es de la forma: 

- Centro

- h = -1

 h = 1

- k = - 2

k = 2

C (1, 2)

- Distancia del centro al vértice de la hipérbola (a):

- Hallar b

- Distancia focal (c)

- Ecuaciones de las asíntotas 

                                      

- Focos

Vértices:

V (h + a, k)   y  V (h - a, k)

V₁

V₁ = (1 + 5, 2)

V₁ = (6, 2)

V₂

V₂ = (1 - 5, 2)

V₂ = (- 4, 2)

- Gráfica