MATEMÁTICA GRADO DÉCIMO IEMPNG: PROBABILIDAD

Su origen no está precisamente en fines altruistas, sino en unos poco nobles, como aquellos que perseguían muchos tahúres que buscaban ganar siempre en los juegos de azar.

Experimento Aleatorio

Es aquel en el que resulta imposible predecir con precisión el resultado.

Ejemplos:

- El lanzamiento de un dado

- Lanzamiento de una moneda

- El premio mayor del Baloto

Experimento Determinístico

Es aquel en que se puede predecir con exactitud su resultado

Ejemplos:

- En el lanzamiento de un dado justo, no cargado, obtener un número ≤ 6

- Soltar un objeto desde un punto elevado y observar la dirección de su movimiento

Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o fenómeno aleatorio. Se acostumbra representarlo con la letra E.

Ejemplos:

- Para el lanzamiento de un dado justo, tenemos:

E = { 1,2,3,4,5,6 }

- En cuanto al lanzamiento de una moneda justa, sería:

E = { cara, sello }

- En el lanzamiento de dos dados, la suma de las caras superiores:

E = { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }

Evento o Suceso

Es cualquier subconjunto del espacio muestral y a menudo se representa con las primeras letras mayúsculas del alfabeto.

Ejemplos:

- En el lanzamiento de un dado, obtener un número par

A = {2,4,6}

- Al lanzar una moneda, se obtenga cara

B = {cara}

Evento seguro

Es aquel que está formado por todos los posibles resultados del evento aleatorio, es decir, por el espacio muestral. La probabilidad es igual a 1.

Ejemplos:

- Al lanzar un dado, obtener un número menor que siete

- En el lanzamiento de dos dados, la suma de las caras superiores sea mayor que 1 y menor o igual a 12.

Evento imposible

Es aquel que no contiene ningún elemento del espacio muestral

Ejemplos:

- Obtener un 7 en el lanzamiento de un dado

- Sacar una balota roja de una bolsa que sólo contiene balotas verdes y amarillas.

Evento simple

Miremos en el experimento del lanzamiento de un dado, el evento obtener un número mayor que 5

El evento incluye un único resultado: A = {6}

Un evento simple es un evento con un solo resultado.

Evento compuesto

Consideremos ahora, obtener un número par en el lanzamiento de un dado

El evento se podría representar: B = {2,4,6}

Un evento compuesto es un evento con más de un resultado

Más claridad sobre estos conceptos en este divertido video:

Regla de Laplace

Detengámonos a analizar el lanzamiento de una moneda

Sea A el evento obtener cara

E = {(c,s)}

Tenemos que es posible obtener cara o sello, dos posibilidades.

El evento obtener cara, se refiere a una de las dos posibilidades totales (E), hecho que puede expresarse mediante la razón:

Para obtener esta respuesta a manera de porcentaje, se multiplica

0,5 x 100 = 50%, es decir, la probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda es del 50%

- En una bolsa que contiene 9 balotas de igual forma, peso y textura, numeradas del 1 al 9, si extraemos una balota, ¿Cuál es la posibilidad de que el número de la balota que se extraiga sea un múltiplo de 4?

E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Observe que sólo en 2 de los eventos elementales se cumple la condición de que la balota extraída sea múltiplo de 4, de un total de 8 que contiene el espacio muestral, así:

Llamemos A, al evento obtener una balota cuyo valor sea un múltiplo de 2

Para expresar esta respuesta a manera de porcentaje:

0,25 x 100 = 25%

Es posible sintetizar este procedimiento mediante la siguiente definición:

Si los resultados de un experimento aleatorio tienen las mismas posibilidades de ocurrir, entonces, la probabilidad de que un evento A, asociado al espacio muestral E del experimento, llegue a ocurrir es la razón entre el número de casos favorables n(A) y el número de casos posibles n(E)

Podemos elaborar las siguientes conclusiones:

1. El numerador de la razón de probabilidad deber ser un número positivo o cero

2. El denominador de la razón de probabilidad debe ser un número positivo, es decir, mayor que cero

3. El número de veces que puede esperarse que ocurra un evento en n ensayos siempre es menor o igual que el número de ensayos n, en consecuencia, si el numerado siempre es menor que el denominador, el resultado siempre es un valor numérico entre 0 y 1.

En este sentido tenemos las siguientes propiedades:

1. Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1

2. P(E) = 1, es un evento seguro

Sucesos compatibles o no excluyentes

Dos sucesos, A y B, son compatibles o no excluyentes cuando tienen algún suceso elemental común, es decir, pueden ocurrir simultáneamente.

Ejemplo 1

- Sea el experimento aleatorio: lanzar un dado una sola vez al aire

Su espacio muestral sería: E = { 1,2,3,4,5,6 }

- Sea el suceso A: Sacar puntuación par en la cara superior

El evento sería: A = {2,4,6}

- Sea el suceso B: Obtener un múltiplo de 3

El evento sería: B = {3,6}

¿Encuentras elementos comunes dentro de esos eventos?

Sí, (A ∩ B) = {6}, existe un evento elemental en común

¿Qué podríamos concluir a partir de allí?

Existe un caso en el cual se puede obtener un número par, que además, es múltiplo de 3, es decir los dos eventos pueden ocurrir de manera simultánea

Ejemplo 2:

- En el mismo experimento del lanzamiento de un dado, sea el suceso sacar un par menor que 5

A = {2,4,6}

B = {1,2,3,4,5}

A ∩ B = {2,4}

En el caso de sucesos compatibles, aplicamos la intersección

A ∩ B

Sucesos mutuamente excluyentes o Incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles o mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún elemento en común, lo que es igual, no pueden ocurrir simultáneamente.

Dado que los eventos son subconjuntos del espacio muestral, estos se pueden combinar mediante uniones, intersecciones, diferencias y complementos entre conjuntos.

Ejemplo

- Sean los eventos en el lanzamiento de un dado:

A: Sacar puntuación impar

A = {1,3,5}

B: Obtener un múltiplo de 2

B = {2,4,6}

En este caso: A ∩ B = Ǿ

Técnicas de conteo

Las técnicas de conteo son aquellas que permiten determinar el número de posibilidades que tiene un experimento aleatorio, garantizando que no falta ni sobra algún elemento del espacio muestral.

Son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Diagrama de árbol

Es una herramienta gráfica que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se utiliza frecuentemente en situaciones de conteo y probabilidad con un espacio muestral pequeño. Se le conoce con ese nombre debido a la forma de árbol que va tomando conforme se avanza en el proceso.

Se parte de un nodo inicial que representa la primera acción a partir de la cual se coloca una rama para cada una de las posibilidades o maneras diferentes de realizar cada acción, a su vez cada rama parcial se va convirtiendo en un nuevo nodo del cual parten nuevas ramas y así, hasta el final del experimento que incluye todos sus posibles resultados.

Ejemplo 1:

Se lanzan dos dados al aire y se requiere elaborar el espacio muestral, ¿cómo saber que no se han quedado eventos elementales por fuera?

El diagrama arbolar sería:

El espacio muestral sería:

E = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1), (6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

El espacio muestral tiene un total de 36 eventos elementales, pero, ¿están completos?

Cada dado tiene 6 caras distintas y cada una de ellas tiene la misma posibilidad de obtenerse. El valor que se obtenga en cada caso corresponde a eventos independientes, habrá uno "y" otro resultado, por lo tanto aplicamos el principio de multiplicación:

6 x 6 = 36 posibles resultados, por lo tanto el espacio muestral está completo

Ejemplo 2

Sofía tiene las siguientes prendas para vestirse: 2 pantalones, uno negro y otro verde; además de 3 blusas (negra, roja y azul). Considérese vestirse como el hecho de ponerse un pantalón y una blusa.

El diagrama arbolar de la situación descrita sería el siguiente:

El espacio muestral estaría compuesto de seis eventos elementales

Principio fundamental del conteo

Si una primera acción puede realizarse de n₁maneras distintas y una segunda acción puede realizarse de n₂ formas distintas, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente n₁. n₂ maneras diferentes.

Si se trata de una secuencia de acciones o de sucesos, entonces debemos usar el principio multiplicativo.

Ejemplo 1

En la fabricación de placas para vehículos se dispone de diez números del 0 al 9 y de 27 letras del alfabeto. Si cada placa consta de 3 números y 3 letras, ¿cuántas placas es posible fabricar si las letras y los números se pueden repetir?

Nos damos cuenta que cada uno de los 3 números de la placa tiene 10 posibilidades distintas y son eventos independientes, no dependen ninguno de otro

1º # 2º # 3º #

10 x 10 x 10 = 10³

Para el caso de las letras,

1ª letra 2ª letra 3ª letra

27 x 27 x 27 = 27³

La cantidad total de placas que se puede elaborar es:

10³x 27³= 19683000

Ejemplo 2:

Suponiendo que los números y las letras de las placas no se puedan repetir

1º # 2º # 3º #

10 x 9 x 8 = 720

Para el caso de las letras,

1ª letra 2ª letra 3ª letra

27 x 26 x 25 = 17550

720 x 17550 = 12636000

Ejemplo 3:

Con los números 1, 4, 5, 8 y 9 se decide formar números diferentes. ¿Cuántos pueden formarse si no se pone ninguna condición?

3 x 4 x 5 = 60

Principio de Adición

Si una acción puede realizarse de n₁ maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n₂ maneras diferentes, pero no es posible realizar ambas acciones conjuntamente, entonces n₁ o n₂ pueden realizarse alternativamente de n1 + n2 maneras diferentes

- Ejemplo 1:

Un joven dispone de tres camisas y 4 camisetas, ¿de cuántas formas distintas se puede vestir usando una prenda a la vez?

El joven se puede vestir con camisa o camiseta, pero no ambas a la vez es decir, los eventos son mutuamente excluyentes

La expresión "o" que hay en la frase camisa o camiseta, siempre implica una suma matemática, por lo tanto, el joven se podrá vestir:

3 + 4 = 7 formas distintas

Ejemplo 2

Una estudiante que requiere desplazarse desde Bello hasta la Universidad de Antioquia, dispone de tres medios de transporte distintos, taxi, colectivo y metro.

Nótese que el estudiante no puede tomar los 3 medios de transporte a la vez, o toma taxi o usa colectivo o aborda el metro. Los eventos son mutuamente excluyentes. La "o", implica sumatoria.

Principios de adición y multiplicación simultáneos

Ejemplo :

Carolina va a viajar desde Bello hasta la ciudad de Bogotá usando el aeropuerto de Rionegro, ella ha decidido irse en taxi hasta el aeropuerto, para lo cual dispone de 6 empresas distintas, una vez en Rionegro, tiene a su disposición 4 compañías aéreas que la pueden llevar a su destino final. ¿De cuantas formas distintas puede viajar Carolina?

Solución

Carolina puede tomar cualquiera de las empresas de taxi para ir hasta Rionegro (empresa 1 o empresa 2 o empresa 3, etc.), por lo tanto tiene 6 opciones para viajar hasta allá (sucesos mutuamente excluyentes). Para ir de allí hasta Bogotá tiene 4 opciones distintas para hacerlo (o Avianca, o Viva Colombia, o etc.), pero igualmente, no puede tomar si no una (sucesos mutuamente excluyentes).

Analicemos ahora, que Carolina debe usar una de las empresas de taxis que la lleve hasta Rionegro y abordar un avión de cualquiera de las 4 empresas aéreas. La palabra claves es "y", que siempre en matemáticas implica multiplicación.

Por lo anterior, Carolina dispone de

6 x 4 = 24 formas distintas de viajar.

Factorial

Se utiliza en los casos donde se requiere organizar n elementos en r formas y sus características son:

1. n = r

2. Si importa el orden

El factorial de un número corresponde al producto de todos los números naturales iniciando en 1 hasta el mismo número. Se representa con el signo (!).

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x n

Ejemplo 1:

¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 6 personas en 6 sillas?

Primera persona : 6

Segunda persona : 5

Tercera persona: 4

Cuarta persona: 3

Quinta persona: 2

Sexta persona: 1

Todos los eventos son independientes, pueden suceder de manera simultánea, por lo tanto aplicamos el principio de multiplicación:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720

6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720

Ejemplo 2:

Una empleada de una tienda de ropa femenina debe organizar la vitrina del almacén: El administrador le pide que vista los 4 maniquíes disponibles con 4 de los vestidos de la última colección. ¿De cuantas maneras diferentes puede el empleado vestir los maniquíes?

Primer maniquí: 4 vestidos

Segundo """"" : 3

Tercero 2

Cuarto 1

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Ejemplo 3:

Hay 4 balotas dentro de una caja, los colores de cada una de ellas son blanca, roja, negra y azul. Al sacar sin devolución una a una de la caja, teniendo presente el color, ¿Cuántos resultados diferentes hay?

Primera balota: 4 posibilidades de color

Segunda: 3

Tercera: 2

Cuarta: 1

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

También te puedes apoyar en el siguiente video

Permutaciones sin repetición

Se llama permutaciones de n elementos tomadas de r en r, con n > r, a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:

1. No entran todos los elementos (n>r)

2. Si importa el orden

3. No se repiten los elementos en cada uno de los grupos formados

Ejemplo: 1:

En una competencia atlética participan 8 competidores, ¿De cuántas formas distintas puede darse el pódium si se premiara primero y segundo lugar?

Solución:

No se puede quedar en 2 puestos a la vez, por lo tanto son sin repetición

Ejemplo 2:

Un grupo de 7 estudiantes de matemáticas dispone de 9 sillas para sentarse a recibir la clase. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar los estudiantes?

Solución

Vamos al siguiente video:

Ejemplo 3:

Una compañía se encuentra en convocatoria para renovar su junta directiva, los cargos son presidente, vicepresidente y tesorero, ¿De cuántas formas distintas se puede armar la junta directiva si para los cargos se han presentado 12 candidatos?

Solución:

Si importa el orden, n > r, n = 12, r = 3

No se puede ocupar más de 1 puesto a la vez

Permutaciones con repetición

Se llama permutaciones con repetición de n elementos tomados de r en r, a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

1. Si importa el orden

2. Si se repiten los elementos

Existen a elementos iguales, b elementos iguales, c elementos iguales pero todos distintos entre sí.. Dos agrupaciones son diferentes si por lo menos dos posiciones están ocupadas por elementos distintos.

Ejemplo 1:

¿Cuántas palabras diferentes con o sin sentido se pueden construir con las letras de la palabra BANANA?

Solución:

Si importa el orden

Existe repetición

n = 6,

a (B) = 1

b (A) = 3

c (N) = 2

Ejemplo 3:

En una urna hay 5 balotas del mismo peso, tamaño y textura, de las cuales 3 son rojas y 2 son azules, ¿De cuántas maneras se pueden extraer una a una las bolas de la urna hasta sacarlas todas?

Solución

RRARA no es lo mismo que AARRR, por lo tanto si importa el orden

Existe repetición

n = 5

a (R) = 3

b (A) = 2

Combinaciones

Se llama combinaciones de n elementos tomados de r en r con n > r, a todas las agrupaciones posibles que puedan hacerse con los n elementos de forma que:

1. No entran todos los elementos

2. No importa el orden

3. No se repiten los elementos

Ejemplo 1:

En un curso de 20 estudiantes se requiere formar una comisión de 3 estudiantes. ¿De cuántas maneras distintas se puede conformar dicha comisión?

Ejemplo 2:

En un juego de apuestas llamado Loto Loco, que contiene 49 balotas numeradas del 1 al 49. Hay ganadores cuando los jugadores aciertan 6 números de los seleccionados en cualquier orden. ¿De cuántas formas se podrían seleccionar las 6 balotas ganadoras?

Observa el siguiente video

Ejemplo 3:

En un grupo de 5 estudiantes se ha decidido rifar 2 premios entre los 5 mejores puntajes alcanzados en examen de periodo. Si los premios son iguales para los dos ganadores, ¿De cuántas formas se puede encontrar a los dos ganadores?